Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Если: 1. $g(x), h(x)$ - $n$ раз дифференцируемы в $O(x_{0})$ 2. $h(x_{0}) = h'(x_{0}) = \dots = h^{(n-1)}(x_{0}) = 0$ 3. $g(x_{0}) = g'(x_{0}) = \dots = g^{(n-1)}(x_{0}) = 0$ 4. $\forall{x \in O(x_{0})}\mathpunct{:}~~ h^{(n)}(x) \neq 0$ То: $$\exists{c \in (x_{0}, x)}\mathpunct{:}~~ \dfrac{g(x)}{h(x)} = \dfrac{g^{(n)}(c)}{h^{(n)}(c)}$$

$$\dfrac{g(x)}{h(x)} = \dfrac{g(x) - g(x_{0})}{h(x) - h(x_{0})} = \dfrac{g'(c)}{h'(c)} = \dfrac{g'(c) - g'(x_{0})}{h'(c) - h'(x_{0})} = \dfrac{g''(c_{2})}{h''(c_{2})} = \dots = \dfrac{g^{(n)}(c)}{h^{(n)}(c)}$$ (применяется теорема Коши о среднем) $~~~\square$

Пусть $f(x)$ - $n$ раз дифференцируема в $O(x_{0})$, тогда: $$\forall{x \in O(x_{0})}~~ \exists{c \in (x, x_{0})}\mathpunct{:}~~ f(x) = f(x_{0}) + \dfrac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \dfrac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + \dots + \dfrac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1} + \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n} =$$ $$= \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k} + \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-x_{0})^{n}$$

Пусть: $$h(x) = (x-x_{0})^{n},~~ g(x) = f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}$$ Тогда: $$h^{(k)}(x) = n(n-1)\dots(n-k+1)(x-x_{0})^{n-k}$$ Так как $k < n$, то $(x - x_{0})^{n-k} = 0$ при $x = x_{0}$, а значит: $$\forall{k = \overline{0,n-1}}\mathpunct{:}~~ h^{(k)}(x_{0}) = 0$$ Так как $h^{(n)}(x) = n!$, то $h^{(n)}(c) = n!$ Теперь рассмотрим $g(x)$ и возьмём производную: $$g(x) = f(x) - \left( f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \dfrac{f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}{2!} + \dots \right)$$ $$g'(x) = f'(x) - \left( 0 + f'(x_{0}) + \dfrac{f''(x_{0})}{2} \cdot 2(x-x_{0}) + \dots \right)$$ Подставим $x = x_{0}$ и возьмём производные до $n-1$, получим: $$g(x_{0}) = g'(x_{0}) = g''(x_{0}) = \dots = g^{(n-1)}(x_{0}) = 0$$ $$g^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) - 0 \implies g^{(n)}(c) = f^{(n)}(c)$$ Теперь применим лемму: $$\dfrac{g(x)}{h(x)} = \dfrac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}}{(x-x_{0})^{n}} = \dfrac{f^{(n)}(c)}{n!} ~~~~~\square$$